عدد طلایی و رشته اعداد فیبوناچی
درادامه مطلب
عدد طلایی و رشته اعداد فیبوناتچی
لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی حدود سال 1200 میلادی مساله ای طرح کرد : فرض کنید که یک جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یک جفت خرگوش نر و ماده جدید بدنیا بیاورند ... اگر هیچ خرگوشی از بین نرود , در پایان یک سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟
فیبوناچی تصمیم گرفت برای محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض کند.
پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود ... چون در شروع ماه اول فقط یک جفت اصلی وجود دارد...اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست میکند.
سپس او متوجه شد که با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسیم میشوند: Fn-1 تعداد جفتهای قدیمی و تعداد جفتهای جدید پس از N-1 ماه است .چون جفت جدید پس از یک ماه تولید میشود و بعد از یک ماه دیگر اولین جفت خود را تولید میکند ... تعداد جفتهای جدید برابر تعداد جفتهای دو ماه قبل است که با Fn-1 نشان داده میشود .
پس :
Fn= Fn-1 + Fn-2
با استفاده از این فورمول و مقادیر اولیه F1 =1 و F2 =2 میتوان تعداد جفتها را پس از یک سال بدست اورد و نوشت F12=233 .
سری اعداد Fn را دنباله فیبوناچی مینامند. با یک توافق عمومی مقادیر اولیه از 1 و 1 بجای 1و 2 شروع میشود (بطوری که جمله های دنباله بصورت زیر نوشته میشوند)
... ,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
حالا اگر در این دنباله هر عدد را به عدد قبلیش تقسیم کنیم یک همچین سری را خواهیم داشت:
1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1?5, 5/3 = 1?666... 8/5 = 1?6, 13/8 = 1?625, 21/13 = 1?61538 و ...
که هرچه جلو بریم بنظر می اید که به یک عدد مخصوص میرسیم . برای بهتر دیدن موضوع به نمودار زیر توجه کنید:
ما این عدد را عدد طلایی مینامیم که این عدد تقریبا برابر است با : ... 1.618033
به عبارتی دیگر حد این دنباله به عدد طلایی میرسد:
سری فیبوناچی در طبیعت:
حالا میام و به این دنباله به صورت دیگری نگاه میکنیم : اگر ما دو مربع به ضلع یک در کنار هم بگزاریم و در بالا اندو یک مربع با ضلع 2 بگزاریم و همین طوری تا اخر ... ما شکلی خواهیم داشت مثل شکل پایین :
این مستطیل به مستطیل فیبوناچی معروف است.حالا اگر نقاطی از این شکل را به هم وصل کنیم به شکل زیر میرسیم :
که شبیه این شکل را میتوان در طبیعت و در شکل زیر دید:
از دیگر مثالهای این دنباله در طبیعت میتوان به دانه های گل افتابگردن یا به تعداد گلبرگ بعضی گلها اشاره کرد
عدد طلایی
قبلا در مورد چگونگی بدست اوردن عدد طلایی از طریق دنباله فیبوناچی صحبت شد.حالا در مورد راههای دیگر بدست اوردن این عدد صحبت میکنیم ...
در زمانهای قدیم هنرمندان یونانی به خوبی ریاضی دانان مستطیل زیبایی می شناختند که از نظر هنری عرض 1 و طول X داشت در این مستطیل هر وقت مربعی به ضلع 1 را از ان جدا کنند باز همان مستطیل با همان نسبتهای مستطیل اصلی باقی میماند .
چون مستطیل جدید عرض 1-X و طول 1 دارد و چون نسبت ضعلهای دو مستطیل با هم برابر است :
حالا اگر در معادله ی بالا برای X حل کنیم ریشه ی مثبت معادله همان عدد طلایی است:
در دنیای ریاضی این عدد را با نشانه یونانی (خوانده میشود فی ) نمایش میدهند ...
استفاده های این عدد:
هرم " ریم پاپیروس " در اهرام ثلاثه یکی از قدیمی ترین مثالها از استفاده از این عدد در ساخت بناهاست ...
اگر عرض یکی از شالهای این هرم را بر فاصله نوک هرم تا نقطه وسط کف هرم تقسیم کنیم جواب 1.6 خواهد بود ...
باستان شناسان مطمئن نیستند که ایا این کار از قصد انجام شده یا اتفاقی بوده است !
مطلب جالب دیگر این است که اگر قطر این هرم را به دوبرابر ارتفاع ان تقسیم کنیم جواب عدد پی (3.14) خواهد بود .
مثال دیگر در بنای پارتنون در یونان وجود دارد .برای ساخت این بنا که در 440 BC ساخته شده است از مستطیل طلایی استفاده شده است:
در شکل زیر نقشه این بنا را میتوانید ببینید ... امتحان کنید ببینید وقتی طول هر کدام از مستطیلهای در شکل را به عرض ان تقسیم میکنید عدد طلایی بدست می اید؟؟؟
چگونگی کشیدن یک مستطیل طلایی:
برای کشیدن یک مستطیل طلایی ابتدا بک مربع با ضلع دلخواه کشیده سپس طبق شکل زیر وسط ضلع پایین این مربع را پیدا کنید.بعد از این با یک پرگار یک قوس با شعاعی به اندازه وسط مربع تا گوشه سمت راست بکشید تا طول مستطیل معلوم شود.
از استفاده های دیگر این عدد :
- هر گاه شما طول صورت فردی را به عرض ان تقسیم کنید هر چقدر این عدد به عدد طلایی نزدیکتر باشد ان فرد باهوشتر است.(این ثابت نشده است ...
- طول هرسه بند انگشت یکی از انگشتان خود را به دلخواه اندازه بگیرید. اندازه بند بالایی را به وسطی تقسیم کنید. عددی در حدود 1.6 خواهد بود نه ؟!حال همان عمل بالا (تعیین نسبت) را در مورد بند وسط به بند کوچک انجام دهید. جواب ؟